Hlavním cílem předkládaného textu je seznámit čtenáře se základními koncepty a metodami teorie spolehlivosti specificky pro potřeby elektrotechnické praxe. Po představení základních tezí, je na konkrétních příkladech představen způsob výpočtu spolehlivosti komplexních systémů na základě znalosti dílčích spolehlivostních charakteristiky. Celý text uzavírá exkurs do ekonomicko-spolehlivostní analýzy, kdy je na případu zálohované dodávky IT služeb představen přístup k ekonomickému zhodnocení spolehlivostních závěrů.

Základní pojmy teorie spolehlivosti.
Teorie spolehlivosti je aplikovanou podobou obecnější matematické disciplíny – teorie pravděpodobnosti, proto se při vyhodnocování spolehlivostních charakteristik standardně používají matematické abstrakce, jako je náhodná veličina, distribuce nebo hustota. Tyto matematické nástroje jsou využity pro pravděpodobnostní modelování poruchovosti sledovaného systému. V následujícím textu shrneme základní pojmy, které jsou nutné pro správné pochopení a využívání závěrů spolehlivostních výpočtů.

Díky teorii spolehlivosti je možné odpovědět na otázky typu:

• Jaká je pravděpodobnost, že systém poběží bez poruch v období od 13. 5. do 6. 8.?
• Kolik poruch, a jak dlouhých, systém průměrně podstoupí za rok?
• Jak se změní spolehlivost, když bude jeden systém redundantně zálohován druhým? Apod.

Zabývejme se nyní chováním obecného systému, který může mít velice složitou vnitřní strukturu, z našeho pohledu se však zabýváme pouze jeho vnějšími projevy. Možné stavy systému jsou funkce a porucha. To, jakým způsobem přechází systém mezi oběma stavy, je dáno vnitřní strukturou systému, která je pro nás neznámá. Systém proto popíšeme na základě vnějšího statistického pozorování. Charakteristiky chování systému při přechodu funkce --> porucha popíšeme veličinou spolehlivostní funkce. Naopak přechod porucha --> funkce popíšeme pomocí matematické veličiny funkce oprav. Obě tyto charakteristiky jsou určeny statistickou cestou a mají následující význam:

Spolehlivostní funkce
R(t) je funkcí času a vyjadřuje, s jakou pravděpodobností došlo v systému v čase menším než je zadané t k poruše. R(5 let)=0,49 tedy znamená, že pravděpodobnost, že systém poběží bez poruchy následujících 5 let, je 49%. Jinými slovy – nasadíme-li do provozu 1.000 systémů S, pak do 5 let se porouchá průměrně 510 z nich. Tato charakteristika plně popisuje poruchové chování systému, ostatní parametry, se kterými se můžeme při spolehlivostních výpočtech setkat, jsou pouze jiným pohledem na informaci obsaženou v R(t).

Obdobná charakteristika, jakou je spolehlivostní funkce R, je použita i pro popis opačného přechodu, tedy pro kontrolu přechodu stavů porucha--> funkce.

Funkce oprav
O(t) je funkcí času a vyjadřuje, s jakou pravděpodobností byl porouchaný systém opraven v čase menším než je zadané t. O(5h)=0,99 tedy znamená, že pravděpodobnost, že systém bude opraven do 5h od poruchy, je 99%. Jinými slovy – z 1000 porouchaných systémů jich do 5h bude opraveno průměrně 990. Tato charakteristika plně popisuje schopnost systému "se opravit" - zde vidíme, že systém chápeme skutečně komplexně, poněvadž zahrnuje i rychlost a kvalitu servisní čety.

Statistickým určením těchto dvou funkcí se nám podařilo vybudovat matematický model sledovaného systému a na všechny výše naznačené otázky bychom v tuto chvíli dokázali odpovědět již jen zkoumáním funkcí R a O. Pro praktické zkoumání se ukazuje velice výhodné vyjádřit chování systému pomocí další dvojice funkcí – intenzita poruch a intenzita oprav a dvojice konstant střední doba do poruchy a střední doba do opravy:

Intenzita poruch. λ(t) je v obecném případě funkcí času a je matematickou úpravou odvozena od funkce R(t). λ(3600s) vyjadřuje pravděpodobnost, že v příští 3601. vteřině (ne však dříve) bezchybného provozu dojde k poruše systému, za předpokladu, že k poruše doposud nedošlo. Na rozdíl od funkce R(t), která se ptá, zda systém přežije časové období <0,t>, intenzita poruch λ(t) vychází z předpokladu, že se systém času t dožil a určuje, s jakou pravděpodobností se porouchá v příštím okamžiku <t,t+dt>. Mezi funkcemi R(t) a λ(t) je obecný vztah:

Intenzita oprav
μ(t) je v obecném případě funkcí času a je matematickou úpravou odvozena od funkce O(t). Podobně jako intenzita poruch vyjadřuje μ(3600s) pravděpodobnost, že v příští 3601. vteřině poruchy dojde k opravě systému S, za předpokladu, že se oprava do toho okamžiku nedařila. Funkce μ(t) má opět charakteristiku lokální časové výpovědi o chování systému v příštím okamžiku, zatímco O(t) nabízí integrální pohled z okamžiku t=0, tj. okamžiku, kdy došlo k poruše. Mezi funkcemi O(t) a μ(t) je obecný vztah:

Střední doba do poruchy
MTTF je konstanta, která určuje, za jak dlouho se průměrně sledovaný systém porouchá. Tento parametr v sobě nese méně informace než funkce R(t), ale nabízí tuto informaci v kompaktní podobě jednoho čísla. V praxi má MTTF ve své vypovídací hodnotě stejná omezení jako např. průměrný plat, stejně jako z průměrného platu neurčíme rozložení tříd příjmů, ani z této veličiny v obecnosti neurčíme, jak velké procento nasazených systémů se skutečně dožije času MTTF.

Střední doba do opravy
MTTR je konstanta, která určuje, za jak dlouho se průměrně porouchaný systém podaří opravit, tento parametr v sobě opět nese méně informace než funkce O(t), nabízí však tuto informaci v kompaktní podobě.
Při zkoumání systému nás mohou oprávněně zajímat ještě dvě vlastnosti systému. První z nich je procento doby, po kterou je systém ve funkčním stavu, neboli dostupnost, a druhou je nejčastěji používaný spolehlivostní parametr MTBF neboli střední doba mezi poruchami.

MTBF
Střední doba mezi poruchami je jednoduchý složený parametr, který určuje délku cyklu "funkce-porucha-oprava". Zřejmý vztah mezi parametry je MTBF=MTTR+MTTF.

Dostupnost
A(t) je v obecnosti funkce času a vyjadřuje, s jakou pravděpodobností se systém vyskytuje v okamžiku t ve funkčním stavu. Je možné prokázat, že funkce A(t) se po několika cyklech funkce-porucha-oprava ustálí na konstantní hodnotě:

Všechny zavedené veličiny statisticky popisují chování systému jako celku, bez nutnosti znalosti vnitřní struktury tohoto systému. Teorie spolehlivosti nabízí řadu nástrojů, které umožňují právě zavedené veličiny interpretovat a spojovat pro případ složených systémů. Je tedy možné určit spolehlivost složeného systému při znalosti vlastností dílčích komponent výpočetně, bez nutnosti statistického měření uvedených veličin na systému jako celku.

Standardní chování reálných systémů - exponenciální rozdělení spolehlivosti
Při využívání popsaných charakteristik a parametrů se ukazuje, že v naprosté většině praktických případů není nutné uvažovat zcela obecný časový průběh funkcí λ(t) a μ(t). U naprosté většiny technických zařízení lze z pohledu spolehlivosti rozlišit tři fáze činnosti – tzv. období zahořování, období standardního užívání a období stárnutí materiálu. Toto chování charakterizuje tzv. vanová křivka, znázorněná na následujícím obrázku:

V období zahořování se u objektu projevují různé skryté chyby z výroby, které jsou však časem odstraněny, a intenzita poruch tedy klesá. V následném období standardního užívání je intenzita poruch konstantní. Poté následuje období stárnutí materiálu, kdy se začínají projevovat únavové defekty, a intenzita poruch tedy roste. Pro absolutní většinu prvků po naprostou většinu jejich "funkčního života" se prvky pohybují ve střední části vanové křivky, kde je intenzita poruch konstantní.

Podpořeni každodenní praxí můžeme tedy pro modelování R a O používat tzv. exponenciální rozdělení, což znamená uvažovat, že λ(t)=konst a μ(t)=konst. Toto zjednodušení jinými slovy znamená, že porucha systému není funkcí jeho dosavadního vývoje. Tedy bez ohledu na to, co se dělo se systémem před dvěma hodinami, pravděpodobnost, že se v příští sekundě porouchá, je stejná jako pravděpodobnost, že se porouchá mezi 8:00:00 a 8:00:01 zítra ráno.

Toto zjednodušení, a pouze toto zjednodušení, umožňuje psát parametry MTTF a MTTR jako:

Při přijmutí tohoto zjednodušení je možné libovolně složitý systém popsat z pohledu poruchovosti dvěma čísly – MTTF a MTTR, která v případě platnosti exponenciálního rozdělení PLNĚ popíší chování systému. Vzhledem k faktu, že v technické praxi je předpoklad exponenciálnosti v naprosté většině případů oprávněný, budeme jej v dalším textu považovat za automaticky splněný.

Správná interpretace spolehlivostních parametrů
V praxi nejčastěji deklarované spolehlivostní veličiny jsou střední doba do poruchy systému a dostupnost systému. Na konkrétních příkladech předveďme, jaké informace je možné z těchto dvou charakteristik získat.

Dodavatel nabízí systém s parametrem MTBF = 10 let
Řada zákazníků si tento údaj vyloží tak, že systém vydrží fungovat bez poruchy 10 let. Ve skutečnosti však jde o pravděpodobnostní údaj – tedy o již zmiňovanou paralelu průměrného platu. Pokud víme, že platí MTTF >> MTTR, můžeme psát MTBF=MTTF. Víme, že spolehlivostní funkce závisí na MTTF jako

údaj MTTF=10 let tedy znamená, že

Událost, že během 10 let provozu nedojde k žádné poruše, má proto pravděpodobnost 36,79%. Parametr MTTF=10let tak v sobě nese informaci, že z 1000 nasazených systémů jich první měsíc vydrží bez poruchy fungovat průměrně 992, prvních 5 let 607, prvních 10 let 368 a po 30 letech bude bez poruchy stále fungovat průměrně 50 zařízení. Dodavatel rozhodně neklamal, uvedl parametr MTTF přesně, ale při výběru je nutné si uvědomit, že po uplynutí střední doby do poruchy je pravděpodobnost, že systém po celou dobu fungoval bez poruchy, pouze 36,8%.

Dodavatel nabízí systém s parametrem dostupnosti A = 99,999%
Dostupnost je parametr, který vyjadřuje, kolik procent času je systém ve funkčním stavu nebo také, jaká je pravděpodobnost, že systém je možné v libovolném okamžiku najít ve funkčním stavu. Uvedený parametr o systému tedy vypovídá, že každý rok bude průměrně z 31536000 s systém po celkovou dobu 31535684,6 s funkční a po sumární dobu 315,36 s – tedy přes 5 minut – bude v opravované poruše. Parametr bohužel nereflektuje, jakým způsobem si systém pobyt v poruše "rozdělí", zda půjde o minutový výpadek 5x za rok, či hodinový výpadek jednou za 12 let. Tato informace, pro mnoho zákazníků zcela zásadní, není v parametru obsažena.

Dodavatel nabízí systém s parametrem dostupnosti A = 99,999 % a MTBF = 10 let
Pokud je dodavatel skutečně tak osvícený, že udává a garantuje u svého produktu oba tyto parametry, je možné rozklíčovat téměř kompletní pravděpodobnostní chování systému.

Parametr A souvisí s parametry MTTF a MTTR – střední dobou do poruchy a střední dobou do opravy jako:

Dokážeme tedy snadno určit MTTR jako:

Systém se tedy "průměrně" chová tak, že 10 let funguje bezchybně, následuje porucha, která je opravována 52 a půl minuty, a opět následuje 10 let bezchybného fungování.

Je zřejmé, že pokud by výrobce dokázal snížit střední dobu do opravy – např. lepším školením techniků, zlepšil by se i parametr dostupnosti. Na každém odběrateli kritických systémů tak zůstává rozhodnutí, jakou skladbu parametrů MTTF a MTTR bude vyžadovat.

Výpočet spolehlivosti komplexních systémů (modelová úloha – určení spolehlivosti dodávky IT služeb)
V předchozím textu jsme uvedli, že teorie spolehlivosti nabízí řadu metod, jak výpočetně určit spolehlivost složeného systému, pokud známe spolehlivostní charakteristiky jeho dílčích částí. Zabývejme se nyní analýzou spolehlivosti komplexního systému na konkrétním modelovém příkladu - dodávce IT služeb. Je zřejmé, že nejprve musíme určit prvky, z nichž je náš systém složen, a určit jejich spolehlivostní charakteristiky. Následující obrázek zobrazuje systém, kterým se zabýváme, a je vidět, že se skládá ze tří částí.

Obr. Spolehlivostní schéma systému – Dodávka IT služeb. Jak je vidět, pro úspěšnou dodávku služeb je nutné, aby fungoval alespoň jeden z prvků EX/EC a zároveň prvek IT.

Těmito částmi jsou externí dodávka elektrické energie, záložní energocentrum a vlastní IT řešení. Je pochopitelné, že dodávka IT služeb závisí nejen na spolehlivosti vlastního IT řešení (ať již HW nebo SW části), ale i na kvalitě dodávky elektrické energie. Vzhledem ke zvýšení spolehlivosti dodávky elektřiny využíváme redundantní zálohování elektrickou energií ze dvou zdrojů – EX a EC. Pro konkrétní vyčíslení spolehlivosti celku předpokládejme (oprávněně), že všechny prvky se ve svých spolehlivostních charakteristikách chovají exponenciálně – označení jednotlivých parametrů shrnuje následující tabulka.

Tabulka 1. Označení spolehlivostních charakteristik jednotlivých prvků systému.

Pro řešení tohoto druhu problému se s úspěchem využívá teoretická konstrukce známá pod názvem markovské procesy. Pro potřeby této metodiky je nutné "inženýrsky" analyzovat přípustné a možné stavy systému včetně jejich přechodů. Uvažujeme popis systému ve tvaru trojice čísel [stav EX, stav EC, stav IT] – tedy např. 111 znamená, že všechny prvky jsou v pořádku, 011 znamená, že externí dodávka elektřiny má výpadek, ale náhradní zdroj elektřiny v pořádku funguje atp. Následující obrázek shrnuje všechny možné stavy zkoumaného systému, vyznačuje možné přechody (tj. ty, ve kterých došlo právě k jedné změně) a označuje ty ze stavů, které způsobují nefunkčnost systému jako celku.

Obr.  Možné stavy systému a jejich vzájemné přechody. Každý stav je popsán pomocí trojice čísel [stav EX, stav EC, stav IT]. Ve stavu 001 se systém nemůže zdržet, protože systém IT bez dodávky elektřiny nemůže být ve funkčním stavu. 
 

 Článek je ukázkou sborníku L.P.Elektro č. 51